ストッキングと極小曲面
極小曲面とは平均曲率が0の曲面のことである.たとえば, 座標を用いて曲面を
![\normalsize z = u(x,y)](./?action=common_tex_main&c=%_5Cnormalsize%_20z%_20%_3D%_20u%28x%_2Cy%29)
と表すと,ラプラス方程式
![\normalsize\displaystyle \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)u(x,y)=0](./?action=common_tex_main&c=%_5Cnormalsize%_5Cdisplaystyle%_20%_5Cleft%28%_5Cfrac%_7B%_5Cpartial%_5E2%_7D%_7B%_5Cpartial%_20x%_5E2%_7D%_2B%_5Cfrac%_7B%_5Cpartial%_5E2%_7D%_7B%_5Cpartial%_20y%_5E2%_7D%_5Cright%29u%28x%_2Cy%29%_3D0)
を満たす.つまり,x方向に凸なら(1項が負), y方向はそれに応じて凹こんでいる(2項が正).決して両方一緒に凸や, 凹になることはない.
解析関数の実部, 虚部もそれぞれ極小曲面を定義する.2次元の静電ポテンシャル
も極小曲面とみなすことができる.石鹸膜のような弾性膜もその張力のために極小曲面をなす.ここではパンティーストッキングを使って極小曲面を作ってみよう.
準備するもの
- 境界条件
何でもよいが, ここでは木のブロックを使った. - パンティーストッキング
男性の場合, やや入手に困難を感じるかも知れませんね. 銀行強盗さんもコンビニで買っているのでしょうか.
例
直径9cmの木の円盤に, 1辺3cmの立方体のブロックをおいて境界条件を作成した.立方体の角の部分で, 勾配が
無限大になっている様子がわかる. このような特異点が簡単な系で実現できていることは興味深い。
![](./?action=common_download_main&upload_id=139)
![](http://www.kuee.kyoto-u.ac.jp/%7Ekitano/poisson/fullsize.jpg)
![](http://www.kuee.kyoto-u.ac.jp/%7Ekitano/poisson/fullsize2.jpg)
補足
尖点のポテンシャルが、
に比例することは比較的簡単に求められる。
は尖った点からの距離、
は開き角である。今の例では、
であり、勾配が無限大であることが分かる。
J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd ed. (John Wiley, 1998) pp. 75--79.